Metode Eliminasi Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel


Metode eliminasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk memecahkan atau mencari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabelnya. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus menghilangkan variabel x terlebih dahulu.

Perlu diingat, untuk mengeliminasi suatu variabel harus variabel tersebut memiliki koefisien yang sama. Jadi jika koefisien variabelnya belum sama maka terlebih dahulu menyamakan koefisiennya dengan cara mengalikan atau membaginya. Kemudian baru bisa menentukan variabel yang lain yang akan ditentukan. Jadi dalam metode eliminasi anda memerlukan dua kali mengeliminasi variabel. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real.

  1. x + y = 1 dan x + 5y = 5
  2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8
  3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4
  4. 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18
  5. x + y = 12 dan 3x – y = 4

Penyelesaian:
1).  x + y = 1 dan x + 5y = 5
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman x + y = 1 dikalikan 5 dan persamaan x + 5y = 5 dikalikan 1, maka:
x + y = 1     │× 5 =>5x + 5y = 5
x + 5y = 5   │× 1 => x + 5y = 5

5x + 5y = 5
x + 5y = 5
---------------  
4x + 0 = 0
        x = 0
  
Langkah II (eliminasi variabel x)
Sama seperti langkah I, tidak perlu menyamakan koefisien untuk mengeliminasi variabel x karena koefisiennya sudah sama, maka:
x + y = 1
x + 5y = 5
---------------  
0 + –4y = –4
           y = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1)}.

2).  3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 1 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 2, maka:
3x + 2y = 12        │× 1 =>3x + 2y = 12
2x – y = 8            │× 2 =>4x – 2y = 16
Selanjutnya agar nilai y=0, maka jumlahkan kedua persamaan menjadi:
3x + 2y = 12
4x – 2y = 16
---------------  +
7x + 0 = 28
       7x = 28
         x = 28/7
         x = 4

Langkah II (eliminasi variabel x)
Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 3, maka:
3x + 2y = 12        │× 2 =>6x + 4y = 24
2x – y = 8            │× 3 =>6x – 3y = 24

6x + 4y = 24
6x – 3y = 24
---------------  
0 + 7y = 0
y = 0/7
y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0)}

3). 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 2 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 1, maka:
2x + y = 5  │× 2 =>4x + 2y = 10
3x – 2y = 4          │× 1 =>3x – 2y = 4

4x + 2y = 10
3x – 2y = 4
---------------  +
7x + 0 = 14
x = 14/7
x = 2

Langkah II (eliminasi variabel x)
Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 3 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 2, maka:
2x + y = 5  │× 3 =>6x + 3y = 15
3x – 2y = 4          │× 2 =>6x – 4y = 8

6x + 3y = 15
6x – 4y = 8
---------------  
0 + 7y = 7
y = 7/7
y = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)}

4). 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 2x + 3y = 18 dikalikan 2, maka:
3x + 2y = 12│× 3 =>9x + 6y = 36
2x + 3y = 18│× 2 =>4x + 6y = 36

9x + 6y = 36
4x + 6y = 36
---------------  
5x + 0 = 0
x = 0/5
x = 0

Langkah II (eliminasi variabel x)
Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x + 3y = 18 dikalikan 3, maka:
3x + 2y = 12│× 2 =>6x + 4y = 24
2x + 3y = 18│× 3 =>6x + 9y = 54

6x + 4y = 24
6x + 9y = 54
---------------  
 – 5y = – 30
y = – 30/(– 5)
y = 6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 6)}

5). x + y = 12 dan 3x – y = 4
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, tidak perlu menyamakan koefisien karena sudah sama, maka:
   y = 12
3x – y = 4
---------------  +
4x + 0 = 16
x = 16/4
x = 4

Langkah II (eliminasi variabel x)
Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman x + y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 3x – y = 4 dikalikan 1, maka:
x + y = 12   │× 3 =>3x + 3y = 36
3x – y = 4  │× 1 =>3x – y = 4

3x + 3y = 36
3x –   = 4
---------------  
0 + 4y = 32
y = 32/4
y = 8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 8)}


Tags :

bm

SiMamath

Admin

Salaam belajar #dirumahaja
Jika ada pertanyaan silakan menghubungi admin lewat whatsapp.

  • SiMamath
  • Wiyoro Lor
  • zebookmail@gmail.com
  • +6289 6316 63506