Cara Mencari Suku Ke-n dari Barisan Aritmatika

Dalam barisan aritmatika kita akan mengenal tingkatan-tingkatan barisan aritmatika. Mulai dari barisan aritmatika tingkat kesatu, tingkat kedua, tingkat ketiga, dan seterusnya. Dalam hal ini Mafia Online hanya membahas sampai barisan aritmatika tingkat ketiga. Rumus secara umum suku ke-n dari barisan artimatika:
Tingkat 1 => Un = an + b
Tingkat 2 => Un = an2 + bn + c
Tingkat 3 => Un = an3 + bn2 + cn + d

Barisan Aritmatika Tingkat Kesatu
Contoh barisan aritmatika tingkat kesatu yakni sebagai berikut.
a. 2, 4, 6, 8, 10, . . .
b. 3, 6, 9, 12, 15, . . .

Kenapa disebut sebagai barisan aritmatika tingkat kesatu? Karena selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada pada tingkat pertama. Perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk mencari rumus ke-n dari barisan aritmatika tingkat kesatu, silahkan perhatikan uraian berikut ini. Kita ketahui bahwa rumus umum untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat kesatu yakni:
Un = an + b
maka:
U1 = a + b
U2 = 2a + b
U3 = 3a + b
U4 = 4a + b
Jika kita buat dalam barisan aritmatika maka akan tampak seperti berikut.

Dari gambar di atas terlihat bahwa selisih antara U2 dengan U1, U3 dengan U2, dan U4 dengan U3 adalah a.

Contoh Soal 1
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, . . .

Penyelesaian:


Dari gambar di atas maka:
a = 3
kemudian,
a + b = 6
3 + b = 6
b = 3
sehingga
Un = an + b
Un = 3n + 3
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, . . . adalah Un = 3n + 3

Barisan Aritmatika Tingkat Kedua
Contoh barisan aritmatika tingkat kedua sebagai berikut.
a. 1, 3, 7, 13, 21, . . .
b. 5, 6, 10, 17, 27, . . .
c. 4, 6, 13, 25, 42, . . .
Selisih dua suku yang berdekatan yang bernilai sama berada pada tingkatan yang kedua. Perhatikan gambar di bawah ini.
Untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat 2, silahkan perhatikan uraian berikut ini.
Un = an2 + bn + c 
U1 = a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
U2 = a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
U3 = a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
U4 = a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
Jika dibuat dalam bentuk barisan maka akan tampak seperti berikut.

Gambar 
Dengan menggunakan barisan bertingkat maka barisan aritmatika 1, 3, 7, 13, 21, . . . akan diperoleh seperti berikut
sehingga:
a + b + c = 1
3a + b = 2
2a = 2
Dengan metode substitusi maka diperoleh:
a = 1, b = – 1  dan c = 1 maka
Un = an2 + bn + c
Un = 1n2 + (– 1)n + 1
Un = n2 – n + 1

Jadi rumus untuk menentukan nilai a, b, dan c pada barisan aritmatika tingkat 2 yakni:
a + b + c = U1
3a + b = Ut1
2a = Ut2

Contoh Soal 2
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 4, 6, 13, 25, 42, . . .

Penyelsaian:
2a = 5
a = 5/2

3a + b = 2
3(5/2) + b = 2
15/2 + b = 2
b = 4/2 – 15/2
b = – 11/2

a + b + c = 4
5/2 – 11/2 + c = 8/2
c = 8/2 – 5/2 + 11/2
c = 14/2

Un = an2 + bn + c
Un = (5/2)n2 – (11/2)n + 14/2
Un = ½ (5n2 – 11n + 14)

Barisan Aritmatika Tingkat Ketiga
Contoh barisan aritmatika tingkat 3 sebagai berikut.
a. 1, 3, 7, 15, 29, . . .
b. 1, 2, 4, 10, 23, . . .
Selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada pada tingkatan yang ketiga. Perhatikan gambar di bawah ini.
Dengan cara yang sama seperti cara mencari rumus suku ke-n aritmatika tingkat kedua, maka akan diperoleh rumus untuk mencari a, b, c dan d yakni:
a + b + c + d = U1
7a + 3b + c = Ut1
12a + 2b = Ut2
6a = Ut3

Contoh Soal 3
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 1, 3, 7, 15, 29, . . .

Penyelesaian:
6a = 2
a = 1/3

12a + 2b = 2
4 + b = 2
b = – 2

7a + 3b + c = 2
7/3 – 6 + c = 2
c = 6/3 + 18/3 – 7/3
c = 17/3

a + b + c + d = 1
1/3 – 2 + 17/3 + d = 1
d = 3/3 – 1/3 + 6/3 – 17/3
d = – 9/3 = – 3

Un = (1/3)n3 – 2n2 + (17/3)n – 3
Un = (1/3)(n3 – 6n2 + 17n – 9)

Tags :

bm

SiMamath

Admin

Salaam belajar #dirumahaja
Jika ada pertanyaan silakan menghubungi admin lewat whatsapp.

  • SiMamath
  • Wiyoro Lor
  • zebookmail@gmail.com
  • +6289 6316 63506